BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian
Matematika
Istilah Matematika berasal dari
bahasa Yunani, mathein dan mathenem yang
berarti mempelajari.Kata matematika diduga erat hubungannya dengan kata
sansekerta, medha atau widya yangartinya kepandaian, ketahuan atau intelegensi.[1]
(Nasution, 1980: 2)
Kata matematika berasal dari perkataan Latin
mathematika yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti
mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti
pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula
dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya
belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika
berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika
lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari
hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena
pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi
ET, 1980 :148).
Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam
dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio,
diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga
sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang
terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara
tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasi matematika yang bernilai
global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena
itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.
Pada awalnya cabang matematika yang ditemukan adalah
Aritmatika atau Berhitung, Aljabar, Geometri setelah itu ditemukan Kalkulus,
Statistika, Topologi, Aljabar Abstrak, Aljabar Linear, Himpunan, Geometri
Linier, Analisis Vektor, dll.[2]
Beberapa Definisi Para
Ahli Mengenai Matematika antara lain :
1. Russefendi
(1988 : 23)
Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang
tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil di
mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena
itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.
2. James dan
James (1976).
Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai
bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan
lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan
geometri. Tetapi ada pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi
empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan
aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.
3. Johnson dan
Rising dalam Russefendi (1972)
Matematika adalah pola berpikir, pola
mengorganisasikan,pembuktian yang logis, matematika itu adalah bahasa yang
menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat , jelas dan akurat
representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai
ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang
terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan
kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah
dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan
matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan
keharmonisannya.
4. Reys - dkk
(1984)
Matematika adalah telaahan tentang pola dan
hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu
alat.
5. Kline (1973)
Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang
dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama
untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial,
ekonomi, dan alam.
B. Hakikat
Matematika
1. Perkembangan
Matematika dan Contohnya
Perkembangan matematika ini sangat
berkaitan pada sejarah matematika itu sendiri. Perkembangan ini dimulai dari
perkembangan matematika sebelum abad 15-16, perkembangan matematika abad 15-16,
perkembangan matematika setelah abad 15-16.
a. Perkembangan matematika sebelum abad
15-16
1)
Matematika
Prasejarah (Prehistoric Mathematics)
Asal usul
pemikiran matematika terletak pada konsep angka, besar, dan bentuk. Konsep
angka juga telah berevolusi secara bertahap dari waktu ke waktu. Seperti halnya
pada zaman purba, berabad-abad sebelum Masehi, manusia telah mempunyai
kesadaran akan bentuk-bentuk benda di sekitarnya yang berbeda. Seperti batu
berbeda dengan kayu, pohon yang satu berbeda dengan pohon yang lain. Kesadaran
seperti ini yang menjadi bibit lahirnya matematika terutama pada geometri.
Itulah sebabnya geometri dianggap sebagai bagian matematika yang tertua.[3]
2) Timur Dekat Kuno (Ancient Near East)
a) Mesopotamia (Matematika Babylonia)
Matematika
babylonia telah mengembangkan matematika dengan menuliskan tabel perkalian pada
tablet tanah liat, menangani latihan geometri, masalah pembagian serta mencakup
topik mengenai pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan perhitungan pasangan
berbalik nilai. Pada masa ini telah ditulis sistem angka sexagesimal
(basis-60). Dari sini berasal penggunaan modern dari 60 detik dalam satu menit,
60 menit dalam satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat dalam lingkaran, serta
penggunaan detik dan menit dari busur untuk menunjukkan pecahan derajat.[4]
b) Mesir (Matematika Mesir)
Teks
matematika yang paling luas adalah papirus Rhind (Papyrus Ahmes) yang berisi
tentang uraian belajar aritmatika, geometri, teori bilangan, dan persamaan
linier.[5]
c) Yunani (Matematika Yunani dan
Helenistik)
Matematikawan
Yunani menggunakan logika untuk mendapatkan kesimpulan dari defenisi dan
aksioma dan digunakan ketelitian matematika untuk bukti mereka. Thales dari
Miletus adalah matematikawan pertama yang menerapkan penalaran deduktif pada
geometri.[6]
d) India (Matematika India)
Cataan
tertua matematikawan India seperti The Sulba Sutra berisi lampiran
teks-teks agama yang memberikan aturan sederhana untuk membangun altar berbagai
bentuk, seperti kotak, persegi panjang, dan lain-lain. lampiran ini juga
memberi metode untuk membuat lingkaran dengan memberikan persegi yang luasnya
sama. Sedangkan catatan The Siddhanta Surya memperkenalkan fungsi
trigonometri sinus, kosinus, dan sinus invers, dan meletakkan aturan untuk
menentukan gerakan yang sebenarnya posisi benda-benda langit. Madhava dari
Sangamagrama menemukan seri Madhava-Leibniz dan menghitung nilai π sebagai
3,14159265359.[7]
e) Matematika Islam (Abad Pertengahan)
Matematikawan
Persia, Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi sering disebut "bapak
aljabar" menulis beberapa buku metode untuk memecahkan persamaan aljabar.
Perkembangan lebih lanjut dalam aljabar dibuat oleh Al-Karaji dengan memperluas
metodologi untuk menggabungkan kekuatan dan akar integer-integer dari jumlah
yang tidak diketahui.[8]
Sedangkan
Omar Khayyam menulis Discussions of the Difficulties in Euclid, sebuah
buku tentang kelemahan dalam Euclid's Elements, terutama postulat paralel dan
meletakkan dasar untuk geometri analitik dan geometri non-Euclidean. Sharaf
al-Din al-Tusi memperkenalkan konsep fungsi dan dia adalah orang pertama yang
menemukan turunan dari polinomial pangkat tiga yang dikembangkan dari konsep kalkulus
diferensial.
3) Matematika Eropa Abad Pertengahan (Medieval
European Mathematics)
a) Abad
Pertengahan Awal (Early Middle Ages)
Pada masa
ini, Boethius seorang matematikawan memasukkan matematika ke dalam kurikulum
ketika menciptakan quadrivium istilah untuk menggambarkan studi
aritmatika, geometri, astronomi, dan musik.
b) Kebangkitan
Kembali (Rebirth)
Semenjak
buku Khawarizmi The Compendious Book on
Calculation by Completion and Balancing diterjemahkan dan teks lengkap
Euclid's Elements. Berdampak dengan banyaknya pembaruan dalam matematika.
Seperti halnya Fibonacci yang menulis dalam Abaci Liber.[9]
b.
Perkembangan
matematika abad 15-16
Perkembangan
matematika hampir berhenti antara abad keempat belas dan paruh pertama abad
kelima belas. Karena banyak faktor-faktor sosial menyebabkan situasi ini. Namun
pada awal pertengahan abad kelima belas terjadi perubahan secara bertahap.
c.
Perkembangan
matematika setelah abad 15-16
Pada abad
ke-17, Simon Stevin menciptakan dasar notasi desimal modern yang mampu
menggambarkan semua nomor, baik rasional atau tidak rasional. Gottfried Wilhelm
Leibniz di Jerman, mengembangkan kalkulus dan banyak dari notasi kalkulus masih
digunakan sampai sekarang.
Ahli
matematika yang paling berpengaruh pada abad ke-18 adalah Leonhard Euler.
Kontribusinya berupa pendirian studi tentang teori graph dengan Tujuh tangga
dari masalah Königsberg untuk standardisasi banyak istilah matematika modern
dan notasi serta mempopulerkan penggunaan π sebagai rasio keliling lingkaran
terhadap diameternya. Selanjutnya Joseph Louis Lagrange banyak memiliki karya pada
matematika, seperti teori bilangan, aljabar, kalkulus diferensial dan kalkulus
variasi.
Pada abad
ke-19, banyak matematikawan yang mengkaji berbagai bidang pada matematika.
Seperti Hermann Grassmann di Jerman memberikan versi pertama ruang vector,
William Rowan Hamilton di Irlandia mengembangkan aljabar noncommutative, George
Boole di Inggris merancang aljabar yang sekarang disebut aljabar Boolean
yang menjadi titik awal dari logika
matematika dan memiliki aplikasi penting dalam ilmu komputer, dan Georg Cantor
mendirikan dasar pertama dari teori himpunan.
Salah satu tokoh fenomenal dalam matematika abad ke-20 Srinivasa
Aiyangar Ramanujan, seorang otodidak India yang membuktikan lebih dari
3000 teorema. Termasuk sifat-sifat angka yang sangat komposit, fungsi partisi
dan asymptotics, dan fungsi theta. Dia juga membuat investigasi besar di bidang
fungsi gamma, bentuk modular, seri berbeda, seri hipergeometrik dan teori
bilangan prima. Perkembangan terakhir adalah pada tahun 2003 konjektur Poincaré diselesaikan oleh Grigori Perelman.
2.
Tahapan
dalam Matematika
3.
Fakta
Pembelajaran Matematika
C. Karakteristik Matematika
Karakteristik-karakteristik
matematika dapat dilihat pada penjelasan
berikut[10]:
a. Memiliki
Kajian Objek Abstrak
Di
dalam matematika objek dasar yang dipelajari adalah abstrak, sering juga
disebut sebagai objek mental. Di mana objek-objek tersebut merupakan objek
pikiran yang meliputi fakta, konsep, operasi ataupun relasi, dan prinsip. Dari
objek-objek dasar tersebut disusun suatu pola struktur matematika. Adapun
objek-objek tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Fakta
(abstrak) berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Contoh
simbol bilangan “3” sudah di pahami sebagai bilangan “tiga”. Jika di
sajikan angka “3” maka sudah dipahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga”, dan
sebalikya. Fakta lain dapat terdiri dari rangkaian simbol misalnya “3+4” sudah
di pahami bahwa yang dimaksud adalah “tiga di tambah empat”.
2. Konsep
(abstrak) adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau
mengklasifikasikan sekumpulan objek. Apakah objek tertentu merupakan suatu
konsep atau bukan. ”segitiga” adalah nama suatu konsep abstrak, “Bilangan asli”
adalah nama suatu konsep yang lebih komplek, konsep lain dalam matematika yang
sifatnya lebih kompleks misalnya “matriks”, “vektor”, “group” dan ruang
metrik”. Konsep berhubungan erat dengan definisi. Definisi adalah ungkapan yang
membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi ini orang dapat membuat
ilustrasi atau gambar atau lambang dari konsep yang didefinisikan. Sehingga
menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu.
3. Operasi
(abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan
matematika yang lain. Sebagai contoh misalnya “penjumlahan”, “perkalian”, “gabungan”,
“irisan”. Unsur-unsur yang dioperasikan juga abstrak. Pada dasarnya operasi
dalam matematika adalah suatu fungsi yaitu relasi khusus, karena operasi adalah
aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang
diketahui.
4. Prinsip
(abstrak) adalah objek matematika yang komplek. Prinsip dapat terdiri atas
beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun
operasi.
Secara sederhana
dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antara berbagai objek dasar
matematika. Prinsip dapat berupa “aksioma”, “teorema”, “sifat” dan sebagainya.
b. Bertumpu
Pada Kesepakatan.
Dalam matematika kesepakatan
merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang amat mendasar adalah
aksioma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan
berputar-putar dalam pembuktian. Sedangkan konsep primitif diperlukan untuk
menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian. Aksioma juga disebut sebagai
postulat (sekarang) ataupun pernyataan pangkal (yang sering dinyatakan tidak perlu
dibuktikan). Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang
selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat
konsep primitif tertentu. Dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk
konsep baru melalui pendefinisian.
c.
Berpola pikir Deduktif
Berpola pikir deduktif namun
pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui
pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.
Dalam matematika sebagai “ilmu”
hanya diterima pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif secara sederhana dapat
dikatakan pemikiran “yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan
atau diarahkan kepada hal yang bersifat khusus”. Pola pikir deduktif ini dapat
terwujud dalam bentuk yang amat sederhana tetapi juga dapat terwujud dalam
bentuk yang tidak sederhana.
Contoh:
Banyak teorema dalam matematika yang
“ditemukan” melalui pengamatan-pengamatan khusus, misalnya Teorema Phytagoras.
Bila hasil pengamatan tersebut dimasukkan dalam suatu struktur matematika
tertentu, maka teorema yang ditemukan itu harus dibuktikan secara deduktif
antara lain dengan menggunakan teorema dan definisi terdahulu yang telah
diterima dengan benar.
Dari contoh prinsip diatas, bahwa
urutan konsep yang lebih rendah perlu dihadirkan sebelum abstraksi selanjutnya
secara langsung. Supaya hal ini bisa bermanfaat, bagaimanapun, sebelum kita
mencoba mengkomunikasikan konsep yang baru, kita harus menemukan apakontribusi
konsepnya; dan begitu seterusnya, hingga kita mendapat konsep primer yang lain.
d.
Memiliki Simbol yang Kosong dari Arti.
Rangkaian simbol-simbol dapat
membentuk model matematika. Dalam matematika jelas terlihat banyak sekali
simbol yang digunakan, baik berupa huruf ataupun bukan huruf. Rangkaian
simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model
matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu,
dsb. Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya x + y = z belum
tentu bermakna atau berarti bilangan, demikian juga tanda + belum tentu berarti
operasi tamba untuk dua bilangan. Makna huruf dan tanda itu tergantung dari
permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu. Jadi secara umum huruf
dan tanda dalam model x+y=z masih kosong dari arti, terserah kepada yang akan
memanfaatkan model itu. Kosongnya arti itu memungkinkan matematika memasuki
medan garapan dari ilmu bahasa (linguistik).
e.
Memperhatikan semesta pembicaraan
Sehubungan dengan penjelasan tentang
kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika diatas,
menunjukkan dengan jelas bahwa dalam memggunakan matematika diperlukan
kejelasan dalam lingkup apa model itu dipakai. Bila lingkup pembicaraanya
adalah bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup
pembicaraanya transformasi, maka simbol-simbol itu diartikan suatu
transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut dengan semesta
pembicaraan. Benar atau salahnya ataupun ada tidaknya penyelesaian suatu model
matematika sangat ditentukan oleh semesta pembicaraannya.
Contoh:
Dalam semesta pembicaraan bilangan
bulat, terdapat model 2x = 5. Adakah penyelesaiannya? Kalau diselesaikan
seperti biasa, tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x = 2,5.
Tetapi kalu suda ditentukan bahwa semestanya bilangan bulat maka jawab x = 2,5
adalah salah atau bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi jawaban yang sesuai
dengan semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada.
Sering dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah “himpunan kosong”.
f.
Konsisten dalam sistemnya
Dalam
matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama
lain, tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain.
Misal sistem-sistem aljabar, sistem-sistem geometri. Sistem aljabar dan sistem
geometri tersebut dapat dipandang terlepas satu sama lain, tetapi dalam sistem
aljabar sendiri terdapat beberapa sistem yang lebih “kecil” yang terkait satu
sama lain. Demikian juga dalam sistem geometri, terdapat beberapa sistem yang
“kecil” yang berkaitan satu sama lain.
Suatu teorema ataupun suatu definisi harus menggunakan istilah atau konsedp yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenarannya. Kalau telah ditetapkan atau disepakati bahwa a + b = x dan x + y = p, maka a + b + y haruslah sama dengan p.
Suatu teorema ataupun suatu definisi harus menggunakan istilah atau konsedp yang telah ditetapkan terlebih dahulu. Konsistensi itu baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenarannya. Kalau telah ditetapkan atau disepakati bahwa a + b = x dan x + y = p, maka a + b + y haruslah sama dengan p.
[1] Arifinmuslim.2010.Hakikat
Matematika dan Pembelajaran Matematika. http://www.scribd.com/doc/53601045/Hakikat-Matematika-Dan-Pembelajaran-Matematika-Di, diakses tanggal 19 Maret 2014
[2]http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:OladNihqZkQJ:file.upi.edu/Direktori/DUALMODES/MODEL_PEMBELAJARAN_MATEMATIKA/HAKIKAT_MATEMATIKA.pdf+&cd=1&hl=id&ct=clnk&client=firefox-a
[3]CaturSupatmono,
[6]
Ibid..,
[7]
Ibid.,
[8]
http://mathblogman9jkt.blogspot.com/2012/03/sejarah-perkembangan-matematika-di-masa.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar